제 어렴풋한 기억으로는, F1비자 인터뷰 자체에서 I20를 요구했었던것 같은 기억이,,
(근데 기억이 가물가물 해요;;)
그리고, I-20는 F1비자로 들어오는 사람들의 가장가장가장 중요한 서류랍니다.
여행나갔다가 들어올때 잃어버려서 한번 크게 고생했던 경험이 있죠;;
학교랑 컨택하셔서 I-20를 빨리 발급받는게 가장 좋을듯 하네요,
그거 발급받는거 사실 그리 오래걸리는 작업 아닌데 미국애들이 느릿느릿 늦장 부리는 거거든요.
그럼 화이팅~

wherever you go, you need I-20 for all schools. If you want to take summer class, you have to get i-20 from that summer college, and then you should transfer to other college.  Even for summer school, you must take full-time.
Ror applying visa, you should submit summer college's I-20. then after summer school, service ID will be released from summer school to osu.

* sorry typing KO is not working

우선, 여름에 다른 학교 수업을 꼭 듣고 OSU로 가야겠다는 시점에서 설명을 하면,
관광비자로 그냥 수업듣는게 나아 보입니다.
문제는 관광비자로 어학코스 한 두 개 듣는게 문제라기 보다는 관광비자로 입국했다가 다시 나갔다 들어와야한다는 데에 있겠죠. 불법 취업자들 감시때문에 I-94 체류비자 변경에서 가장 까다로운 것이 바로 관광비자->학생비자 신분 변경이라는 건 잘 알려져 있는 사실인데... 중간에 다시 한국이나 가까운 캐나다로 건너가서 다시 미국에 학생신분으로 들어오는 계획에 무리가 없다면 썩 나쁘지는 않은 방법입니다.
*** 단, 관광비자로 학교다니다 문제 생기면 법적인 책임은 본인이 지는 겁니다. ^^ ***

한편으로 여름에 다닐 학교에서 I-20 받는 것도 문제입니다. 바로 위에 neh님이 설명하신 내용과 동일한 내용으로 SEVIS 때문에 그렇죠.
발급된 I-20에는 고유의 SEVIS 번호를 받습니다. 이민국에서 그 학생을 '관리'하기 위한 일종의 관리번호라고 보는게 편하죠. 대사관에서 받는 입국비자(F-1)에도 그 번호가 찍혀있구요~
이는 한 학교에서 다른 학교로 옮겨가는게 간단하지 않다는 얘기도 됩니다. neh님이 설명하신대로 SEVIS transfer를 학교에서 해 줘야하는데 그게 행정절차상 시간도 걸리고 번거로울 수 밖에 없지요.
반대로 정식으로 SEVIS transfer된 I-20를 가지고 다른 학교로 옮겨가는 것은 문제가 되지 않습니다. 미국을 출입국하는 것도 자유롭구요~ (A학교로 발급된 비자로 B학교 다니는게 전혀 문제될게 없다는 얘깁니다.)
질문자가 원하시는 방법으로 여권에 F-1 비자가 각각의 학교이름으로 두 개가 있기를 원하시는 것으로 판단합니다. 하지만, 이는 원칙적으로 허용되지 않습니다.
예를 들어 OSU F-1을 받아놨는데, 욕심을 내서 여름학교 F-1 받으려고 대사관 가서 신청하면 거절될 것이고, 정말 여름 수업들으려고 그 학교를 가겠다고 우기면 바로 OSU F-1 비자에 Cancel 도장을 찍어주고 여름학교 F-1을 내 줄겁니다. 그걸 원하시는 건 아니겠죠? ㅡ.ㅡ
행여 영사관이 실수를 해서 여름학교 F-1 비자를 내 줬다고 가정을 해도 문제입니다. 최고로 재수없는 케이스에 걸리면, 미국 입국 조회시 SEVIS 번호가 두 개 뜨거든요~
그 다음 벌어질 일들은 별로 설명하고 싶지 않습니다. 전 다른 케이스로 SEVIS 번호가 두 개 뜬 적이 있어서 정말 고생 많이 했었지요. 말그대로 '두 개 뜨면 개고생이다.' 입니다. ㅠ.ㅠ

결론은 그냥 여름에 한국에서 편하게 쉬다가 때 맞춰 OSU 들어오는게 가장 문제 없는 방법일 것 같습니다. 솔직히 여름에 학교 잠깐 다닌다고 갑자기 영어로 꿈꾸고 막 잘들리고 그러는거 아니에요~ ㅋ